PHƯƠNG PHÁP NGOẠI SUY AITKEN
Xét phương pháp lặp :
x = f(x) (1)
với f(x) thoả mãn điều kiện hội tụ của phép lặp, nghĩa là với mọi xÎ [a, b] ta có:
| f’(x) | £ q < 1 (2)
Như vậy :
xn+1= f(xn) (3)
xn= f(xn-1) (4)
Trừ (3) cho (4) và áp dụng định lí Lagrange cho vế phải với c Î [a, b] ta có :
xn+1- xn = f(xn) - f(xn-1) = (xn - xn-1)f’(c) (5)
Vì phép lặp (1) nên :
| xn+1- xn | £ q | xn- xn-1 | (6)
b = an- pb-2
Chúng ta nhận thấy rằng a được tính toán xuất phát từ cùng một công thức truy hồi như các hệ số bk và tương ứng với hệ số bn-1
bn-1= an-1 + sbn-2 - pbn-3 = a
Hệ số bn là :
bn= an + sbn-1 - pbn-2 = sbn-1 + b
và cuối cùng :
R1(x) = ax + b = b+-1(x - s) + bn
Ngoài ra các hệ số bi phụ thuộc vào s và p và bây giờ chúng ta cần phải tìm các giá trị đặc biệt s* và p*để cho bn-1 và bn triệt tiêu. Khi đó r1(x)= 0 và nghiệm của tam thức x2 - s*x + p*x sẽ là nghiệm của đa thức Pn(x). Ta biết rằng bn-1 và bnlà hàm của s và p :
bn-1= f(s, p)
bn= g(s, p)
Việc tìm s* và p*đưa đến việc giải hệ phương trình phi tuyến:
Phương trình này có thể giải dễ dàng nhờ phương pháp Newton. Thật vậy với một phương trình phi tuyến ta có công thức lặp:
xi+1= xi - f(xi)/f'(xi)
hay f'(xi)(xi+1 - xi) = -f(xi)
Với một hệ có hai phương trình,công thức lặp trở thành:
J(Xi)(Xi+1- Xi) = -F(Xi)
